EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES: DE PASCAL A KOLMOGOROV

 

 

 

 

A lo largo de este artículo ofrezco una breve aproximación al Cálculo de Probabilidades y la Combinatoria desde sus planteamientos iniciales durante el siglo XVII,  señalando la importancia que se le fue otorgando poco a poco a esta rama de las matemáticas partiendo de meras conjeturas medievales hasta su aplicación actual en la mayor parte de los campos científicos. En su evolución fueron determinantes los estudios llevados a cabo por los matemáticos del siglo XVII, que sentaron las bases y establecieron los conceptos y parámetros que definieron su evolución posterior, ya como disciplina matemática. En  este sentido fueron claves los estudios de matemáticos como Pascal, Fermat, Huygens y los Bernoulli, entre otros. Hemos querido incorporar a este selecto grupo la figura del español Juan Caramuel, cuyos estudios en el campo de la Combinatoria, como rama del cálculo de probabilidades, han pasado desapercibidos en el panorama científico español y europeo. Por último, presento un ejemplo de la aplicación de las teorías combinatorias en la Galicia del siglo XVIII.
 

 

Juan Caramuel: Mathesis Nova (1670), segundo tomo de su Cursus Mathematicarum

 

  El concepto de Probabilidad

 

 

 

En la vida cotidiana, siempre que tomamos una decisión en la que los resultados son inciertos aplicamos un método probabilístico para encontrar una solución, analizamos y ponderamos las consecuencias y resultados de nuestra decisión y definimos términos como probable, seguro o imposible.

 

 

 

A lo largo de la Historia el ser humano ha intentado “medir” el nivel de lo probable y de definir luego el concepto de “probable” y “esperanza”. En ese amplio intervalo de tiempo se puede concretar una época, el siglo XVII, en que se establecen las claves y las bases sobre las que se va a desarrollar el cálculo de probabilidades. Dentro de aquella centuria podemos concretar el año 1654 como una fecha clave en el inicio de esta “nueva” matemática, pues marca el inicio de las relaciones epistolares entre dos matemáticos relevantes como son Blaise Pascal y Pierre Fermat. De su relación surgió un nuevo impulso al cálculo probabilístico, que será luego continuado por otros matemáticos que consolidarán esta nueva disciplina a lo largo de los siglos XVIII, XIX y XX. Ya en el siglo XIII la obra francesa De Vetula presentaba la resolución de todos los posibles resultados del lanzamiento de dos o tres dados y desde aquel momento fueron numerosos los intentos de adentrarse en el campo de la Probabilidad y la Combinatoria, pero no será hasta el siglo XVII que se tome una conciencia real de ello.

 

 

 

Cardano (Gerolano Cardan) en el siglo XVI escribió Liber de ludo Aleae, donde incorpora consejos y reflexiones morales sobre los juegos de azar, incluyendo también cálculos probabilísticos y consiguiendo resolver cuestiones que se arrastraban desde antiguo en relación a problemas de juegos de dados, de una manera similar a como lo harían en el siglo XVII otros matemáticos como Pascal, Fermat, Huygens o el español Juan Caramuel. La teoría de la probabilidad ha llegado a ser fundamental en la actualidad en todos los campos, medicina, economía, investigaciones biométricas, estadísticas de población e industria en general, principalmente desde los estudios llevados a cabo en las primeras décadas del siglo XX.

 

El cálculo de Probabilidades en el siglo XVII

 

 

 

El control o la resolución de problemas aleatorios fue motivo de estudio desde hacía siglos pero no sería hasta el siglo XVI que se publicase la primera obra que trataba este tema con cierta conciencia y desde una óptica matemática. A pesar de que los juegos de azar representaron siempre un dilema difícil de entender no fue hasta la publicación de la obra de Cardano que se tuvo conciencia de lo que la probabilidad y la combinatoria podían representar, a pesar de ser éstos unos términos que no se comenzarían a aplicar como tales hasta la publicación de los estudios de Leibniz y su Dissertatio de Arte Combinatoria, en el siglo XVII.

 

 

 

Fue durante este siglo cuando se llevaron a cabo una serie de trabajos más profundos en el campo de la combinatoria a raíz del desarrollo que experimentó la matemática infinitesimal, el álgebra y la geometría analítica. El primer tratado publicado sobre cálculo de Probabilidades fue el del holandés Huygens (1629-1695), Rationalis in Ludo alae y más tarde, en 1665, aparece publicado el Tratado del Triángulo Aritmético de Pascal.  Después de éste y antes de la publicación de la obra de Bernoulli sólo aparece el trabajo de Juan Caramuel (Kybeia) publicado en su Mathesis Biceps, (1670). Los estudios de Jacques Bernoulli Ars Conjectandi, (1713), representan el mayor avance en este campo; obra dividida en 4 partes, en la primera recoge la obra de Huygens y se definen ya conceptos combinatorios aplicados al cálculo de probabilidades. La obra la completaría más tarde su sobrino Nicolás Bernoulli llevó a cabo en el campo concreto de la Probabilidad, introduciendo también las nociones de combinación para el cálculo de probabilidades. Esta obra se puede considerar el primer tratado dedicado enteramente al cálculo de probabilidades.

 

 

 

Más tarde, en el siglo XVIII, el matemático francés De Moivre formuló una regla en su obra Doctrine des chances que permitía el cálculo de probabilidades de un suceso compuesto y, más tarde fue el inglés Bayes el que aplicó el método inductivo a esta disciplina. Pero, sin duda, fue la obra de Laplace (1749-1827) Theorie analityque des Probabilités (1812) quien desarrolló la formalización de la Teoría Clásica de la Probabilidad y fue el iniciador de la aplicación de la estadística a las ciencias sociales.

 

 

Los trabajos de Pierre Fermat y Blaise Pascal

 

 

Podemos diferenciar dos tipos de Probabilidad; la Probabilidad Clásica, la de los juegos de azar, donde el número de sucesos simples es finito, valorando únicamente las probabilidades a priori; la Probabilidad Subjetiva, que mide el grado de creencia en una proposición justificada por la evidencia. Ambos conceptos permanecían por entonces íntimamente ligados y se venían aplicando indistintamente en los razonamientos probabilísticos, matizados con diferentes tipos de paradojas. Los iniciadores del cálculo probabilístico a mediados del siglo XVII, Blaise Pascal y Pierre Fermat, se centraron en analizar el cálculo de repartos en el juego de azar, estudiando tres problemas que llamaban la atención de los matemáticos de la época:

 

. Problema del dado con partidas no jugadas.

 

. Problema de dados del “caballero de Meré” (Antoine Gombaud)

 

. Problema de los puntos o regla de Repartos para juegos inacabados.

 

 

Pascal, publicó en 1665 un Tratado del triángulo aritmético para resolver el problema de los puntos y fue él quien solucionó de una manera más clara esta antigua cuestión. El triángulo aritmético es una matriz de números que permite relacionarlos unos con otros y Pascal demostró las propiedades existentes entre ellos, dentro de la matriz, y analizó las relaciones entre las diferentes celdas, filas y columnas del triángulo. En cuanto a la Regla del Reparto, cuestión planteada por el “caballero de Meré” a Pascal sobre el reparto de lo apostado al suspender la apuesta, éste introduce los conceptos de Esperanza matemática, valorando el juego a través de su esperanza y Equivalente cierto. Al interrumpirse un juego no tenemos ganador ni perdedor, con lo cual el reparto de lo apostado es un problema de decisión en ambiente de riesgo y formula en este sentido una serie de conceptos y principios con los que va desgranado cada una de las situaciones de la partida y los riesgos de cada jugada. A parte de este método de trabajo para la resolución del problema de los puntos, Pascal ideó un segundo planteamiento basándose en el Triángulo aritmético y calculó la probabilidad de que el primer jugador gane el juego y las probabilidades que tiene de ganar en los juegos, relacionado ambas probabilidades para obtener el resultado de la cuestión. Por su parte, Fermat resolvió el problema de los puntos mediante un método combinatorio, similar al empleado en la resolución de la cuestión del juego con tres jugadores, que fue resuelto inicialmente por Pascal mediante su método universal y el combinatorio.

 

Las variables aleatorias

 

 

Este concepto teórico incrementó las posibilidades de aplicación de la teoría de probabilidades, ampliando la variedad de los problemas a tratar y los métodos de resolución de los mismos. Fue a raíz de los estudios de los errores de las mediciones cuando se empieza a considerar la idea de variable aleatoria y ello ocurre desde mediados del siglo XVIII, con el desarrollo de las mediciones para las diferentes magnitudes astronómicas y físicas. La teoría estocástica de los errores surge en aquella época con los estudios de distribución y la media aritmética de las observaciones, poniendo en relación la teoría de probabilidades y la estadística matemática.

 

 

Daniel Bernoulli, a finales del siglo XVIII clasificó los errores de las observaciones en aleatorios y sistemáticos o constantes, reflexionando sobre la importancia de las observaciones y la exclusión de determinados valores que se desvían de la media. Bernoulli propuso la utilización de una línea curva simétrica (una semiesfera) que representase la distribución de errores aleatorios, con un valor máximo en el centro de la curva, pero por problemas de cálculo no llegó a tener una aplicación práctica. Poco después Euler retomó esta idea utilizando una media ponderada en lugar de la media usual de Bernoulli y más tarde fue Laplace quien se interesó por esta idea de tratamiento de los errores cuando éstos tienen una distribución normal, asumiendo que se cometían errores negativos y positivos con la misma probabilidad. Finalmente, en el siglo XIX surgió el método más importante para el tratamiento de los errores en las mediciones, el “método de mínimos cuadrados”, que mantenía un equilibrio entre los errores, de manera que impedía que los casos extremos ejercieran una influencia indebida.  El cálculo de probabilidades tiene en Rusia un referente fundamental pues fue allí donde se desarrolla esta ciencia. Los trabajos de la escuela de Chebyshev (que define con más precisión el término de probabilidad desde una óptica matemática) se consideran el punto de partida del desarrollo contemporáneo de la teoría de probabilidades a principios del siglo XX.

 

 

Fue a principios de esa centuria que se consideró que la teoría de la probabilidad necesitaba un nuevo marco teórico, más adecuado para su desarrollo, para ser reconocida como una rama más de las matemáticas. En los años 30 del siglo XX, los axiomas establecidos por Kolmogorov, al frente de la escuela rusa, para el cálculo de probabilidades representan las bases para asentar este nuevo marco teórico. La publicación de su obra Conceptos fundamentales de la teoría de las probabilidades, (1933), marca un momento crucial en la fundamentación de la teoría de probabilidades al exponer los conceptos básicos de esta disciplina y conseguir un enfoque unificado de los conceptos suceso y variable aleatorios, eliminando así la ambigüedad que caracterizaba al concepto de probabilidad. 

 

 

Desde entonces las diferentes escuelas han ido desarrollando nuevas teorías probabilísticas, del potencial, del cálculo estocástico o del cálculo anticipativo y ello ha permitido la aplicación del cálculo de probabilidades a otras ramas de las matemáticas, de la física y la tecnología moderna.

 

 

El conocimiento matemático en la España del siglo XVII

 

 

El siglo XVII en España representa una época de evidente decadencia científica que culmina en el último tercio de la centuria. Entre las causas de este retraso, que tiene lugar en una época en la que en Europa surgen las academias científicas de Londres, París o Berlín, podemos citar el espíritu de la Contrarreforma del que emana una postura eminentemente conservadora, muy vinculada a la tradición escolástica, en el campo científico como contraposición al pensamiento científico europeo.

 

 

Las enseñanzas matemáticas ocupan en nuestro país un puesto secundario en las Facultades de Artes, formando parte, a menudo, de la Filosofía Natural. Aun así, en la primera parte del siglo todavía encontramos cierto número de matemáticos de renombre en las Universidades de Salamanca, Valladolid o Alcalá, vinculados en cierta medida a la tradición matemática hispano-árabe. La institución más importante en la enseñanza matemática a lo largo del siglo fue el Colegio Imperial que los Jesuitas dirigían en Madrid. Esta institución había recibido del Rey Felipe IV una dotación de 16 nuevas Cátedras entre las que se encontraban dos de matemáticas, la 9ª en la que se incluían enseñanzas de La Esfera, Astrología, Astronomía, Astrolabio, Perspectiva y Pronósticos y la 10ª, en la que se impartía Geometría, Geografía, Hidrografía y Relojes. Fuera del entorno de los jesuitas también destacaron los estudios impartidos en Valencia, Calatayud o Bilbao.

 

 

Entre los matemáticos más destacados de nuestro panorama científico destacaremos las figuras de Sebastián Izquierdo S.J. (Pharus Scientiarum) que desarrolla las teorías combinatorias siguiendo la línea lulista descrita en el Ars Magna, José Zaragoza S.J.(Arithmetica Universal que comprehende el Arte menor y Maior, Algebra vulgar y especiosa, Valencia, 1669), Tomás Vicente Tosca S.J. (Compendio Mathemático) y el cisterciense Juan Caramuel Lobkowitz.

 

 

Juan Caramuel Lobkowitz

 

 

Recrear una figura como la de fr. Juan Caramuel requeriría un estudio de gran profundidad y mayor extensión que éste que hemos realizado, que es una visión general de la vida y obra de este cisterciense que representa uno de los escasísimos ejemplos del espíritu renacentista en la España del siglo XVII. Poco conocido en el resto de Europa, ha pasado totalmente desapercibido en nuestro país, a pesar de que hasta bien entrado el siglo XVIII no se llevaron a cabo estudios de las características similares a las que Caramuel realizó casi un siglo antes.

 

 

Quizá se le pueda achacar cierta falta de rigor en sus innumerables estudios, que por ello no alcanzaron el reconocimiento de otros similares de sus contemporáneos, como Kircher, Huygens, Pascal o Descartes. Quizá si hubiera nacido en otro país de nuestro entorno (Francia, Alemania, Holanda), quizá si en lugar de ser cisterciense hubiera pertenecido a la Compañía de Jesús, su obra habría sido vista desde otra perspectiva que, seguramente, no habría alcanzado para elevarlo al reconocimiento histórico de otros representantes de su época pero sí habría bastado para que su nombre mereciera el recuerdo y el reconocimiento que su ingente obra representa. Hablamos de una obra publicada que pasa de los 50 títulos [1], algunos de los cuales exceden con creces las 1000 páginas por volumen y de una obra manuscrita, no editada, que pasa de los 20000 manuscritos sobre temas tan variados como la arquitectura, gramática, matemáticas, música, metafísica, teología, astronomía, etc. De él se ha dicho que compuso complejos enigmas lingüísticos, que describió por primera vez los sistemas binarios, 30 años antes que Leibniz, que publicó tablas de logaritmos y métodos para triseccionar ángulos y que contribuyó a crear una lengua universal. A pesar de que gran parte de estas afirmaciones contienen más “forma” que “fondo” sí parece cierto que trató estos y otros temas con mayor o menor fortuna e, incluso, mantuvo relaciones epistolares sobre ello con autores de la talla de Descartes, Gassendi o Kircher.

 

A pesar de su origen luxemburgués, su formación humana fue ciertamente española ya que aquí nació y estudió en colegios de Alcalá y Salamanca, entre otros, antes de su partida hacia tierras holandesas y, posteriormente, a Alemania, Bohemia, Nápoles y, finalmente, a Lombardía (sus últimos años los vivió en la ciudad de Vigevano, donde fue obispo hasta su fallecimiento en 1682). Cuatrocientos años después de su nacimiento, su memoria está presente en otros países más que en el que lo vio nacer, países como la República Checa, donde varios autores reivindican su origen bohemio (y los diez años vividos en Praga) o como Italia, donde se han celebrado congresos internacionales sobre su vida y obra para reivindicar sus diez años vividos en Campania y su labor científica y episcopal llevada a cabo al frente del obispado de Vigevano, donde se conserva su obra manuscrita.

 

En 1667 comenzó a elaborar otra obra de grandes proporciones, el Cursus Mathematicarum facultatum, en varias etapas y, así, apareció en 1670 Mathesis Biceps, vetus et nova, una obra colosal, de 1800 páginas en dos tomos. [2] Es una enciclopedia matemática que abarca desde la antigüedad a los textos más modernos de su época, incluyendo observaciones astronómicas, inventos de todo tipo, experimentos y varios apartados para la Aritmética (Arithmética binaria, Pro-arithmética, Metarithmetica, Calculatoria o cálculo rápido para el uso de comerciantes, y Nummaria, sobre diversos tipos monetarios) y otro para Geometría. Otros capítulos están dedicados a Algebra, Geometría, Náutica, Hidrographía, Nectica o arte de nadar, Potamografhia (sobre los ríos), Hydraulica (sobre las fuentes) y Centroscopía (sobre el interior de la Tierra, de manera muy similar a los escritos del P. Athanasius Kircher). Otra parte de Mathesis biceps, bajo el título de Kybeia, la dedicaba al estudio de la Combinatoria, analizando variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición. Caramuel recurre a la Combinación como instrumento apto para el estudio de cualquier disciplina [3] y, finalmente, dedica otros apartados a tratar la Trigonometría e instrumentos astronómicos, planetas, eclipses, etc.

 

 

En el volumen II de la obra trata la Logarithmica, donde destaca la utilidad de los logaritmos para el cálculo astronómico y aporta tablas de senos, cosenos y secantes, de grado en grado, de 0 a 90º, así como sus correspondientes logaritmos. En otro apartado construye una tabla de los logaritmos decimales de los 1000 primeros números, con siete cifras decimales y diseña un nuevo tipo de logaritmo combinando el de Brigas con el de Neper, obteniendo una especie de Co-logaritmo.

 

 

En el campo de las Matemáticas la labor de Caramuel fue enciclopédica y de investigación ya que se dedicó a recoger los conocimientos de su época, ofreciendo su particular visión de los mismos. [4] Se introdujo, así, en el campo del Cálculo de Probabilidades, (centrado entonces en su aplicación para los juegos de azar) y la Combinatoria. Como hemos apuntado anteriormente los seguidores de las doctrinas lulistas en el siglo XVII centraban sus teorías en el arte combinatoria; Leibniz perfeccionó su cálculo matemático con las teorías combinatorias de Llull y Caramuel e Izquierdo [5] en España hicieron lo mismo.

 

 

Caramuel desarrolla en su obra, siguiendo el patrón impuesto por Llull en el Ars Magna, unas tablas con una serie de términos que funcionan como sujetos y otra serie de complementos y verbos que definen a los sujetos. Incorpora un alfabeto, cuyas letras se corresponden con los términos que representan y para obtener una gran variedad de ideas y razonamientos basta con llevar a cabo combinaciones entre las letras y los términos asociados [6]. Ya en 1664, en Mathesis audax Caramuel avanzaba ciertos aspectos de este sistema combinatorio deudor, a todas luces, del Ars luliana.

 

 

En el Cálculo de Probabilidades plasmó sus aportaciones en una obra de 24 folios bajo el título de Kybeia, que forma parte del segundo tomo de Mathesis bíceps, vetus et nova (1667 y 1670) y que es un estudio pedagógico sobre los juegos de azar, loterías, etc. Los juegos de azar tuvieron siempre gran importancia social y a lo largo del Renacimiento volvieron a ponerse de moda, tras la publicación de la obra de Gerolamo Cardano, Liber de ludo aleae, dedicada a ese tipo de juegos. Por entonces, uno de los problemas más frecuentes que se planteaban los jugadores era el de los Puntos o Regla de los repartos para juegos inacabados; es decir, si varios jugadores apuestan una cantidad o cantidades distintas unos de otros y durante el juego éste tiene que suspenderse, ¿Qué porcentaje del total debe recibir cada apostante? Como hemos apuntado anteriormente, ya en Francia a mediados del siglo XIII circulaba un escrito bajo el título de De Vetula que intentaba esclarecer y estudiar el análisis de resultados. El problema de los Puntos lo había tratado ya en el Renacimiento el fraile franciscano Luca Pacioli, proponiendo tres modos de reparto pero sin encontrar la resolución de todos los posibles casos. Más tarde, Galileo trata sobre este tema en Sopra le scorpete dei dadi a principios del siglo XVII y a él le siguieron Pascal, Fermat y Huygens.

 

 

Por su parte, Caramuel estudió los escritos de este último y contribuyó a esclarecer el problema, a pesar de que en el siglo XVIII Bernoulli criticase su falta de aportación a lo que antes ya había establecido Huygens. Sin embargo, el español parece acertado en el lanzamiento de 2 dados y 2 jugadores pero, efectivamente, erró en los planteamientos para 3 jugadores. En su obra, Caramuel desarrolla unas matemáticas básicas, con un lenguaje conceptual muy sencillo y actual, yendo más allá del simple juego para adentrarse en la licitud o ilicitud del mismo, es decir, si la partida es o no equiprobable ya que si no lo es los riesgos a que se enfrente cada jugador no serán equiparables y las cantidades apostadas deberán ser distintas. Relaciona, quizá, el Cálculo de Probabilidades con la Teología Moral. Respecto a la equidad del juego Caramuel afirmaba

 

 

 

Para que exista equidad será necesario que el dinero de la apuesta se corresponda con el peligro de perderlo.

 

 

La obra que Caramuel dedica a las probabilidades pertenece, como hemos comentado, a Mathesis bíceps, cuyo texto aparece dividido en diez sintagmas. En el primer volumen aparecen cuatro sintagmas; I, dedicado a la Aritmética; II, dedicado a Algebra; III, dedicado a Geometría; y IV, dedicado a Centroscopia, Náutica, Hypothalatica y Anemometría. Los sintagmas V, dedicado a Logaritmia y VI, dedicado a la Combinatoria, que ya había tratado en Mathesis audax, aparecen en el segundo volumen de la obra, siendo, pues, Kybeia, una segunda parte del sintagma VI.

 

 

La combinatoria se encuadraba dentro del cálculo de probabilidades que representa una serie de axiomas y teoremas, como la noción de un “suceso” o “conjunto de sucesos” que deben poseer ciertas propiedades para que sean probabilísticos. Así, entendemos como suceso o conjunto de sucesos un conjunto de resultados posibles a una prueba o experimento; también se estudia el  “Espacio de sucesos de la prueba” formado por un subconjunto de sucesos; así, por ejemplo, lanzar una moneda 3 veces representa 8 sucesos elementales que forman el espacio de los sucesos del fenómeno. [7]

 

 

Kybeia

 

 

Comienza esta pequeña obra de 22 páginas con una introducción sobre el origen del juego y reflexiones morales en contra del mismo, resaltando que siempre debe primar la igualdad entre los jugadores y que esa igualdad debe ser constante. Por otro lado, la cantidad de dinero a apostar debe ser proporcional al peligro o riesgo de perderlo y siempre se deberá conocer la magnitud de ese riesgo. Si se da una situación de igualdad, considera Caramuel que el juego es legal. A continuación, pasa a analizar el caso de los juegos de dados, porque en ellos la “esperanza” ya es conocida y establece los criterios para tener o no derecho a efectuar una reclamación sobre el dinero apostado y qué condiciones debe valorar el jugador para jugar sobre seguro, introduciendo en este punto una serie de tablas sobre “peligros” y “esperanzas”.

 

 

En otro apartado estudia el problema de los puntos para dos jugadores si se interrumpe el juego, partiendo de la premisa de que nunca corresponde devolver lo apostado a cada jugador ya que en este caso también se debe valorar el tipo de juego, si es o no de azar o si interviene en él la aptitud de los jugadores (en el juego de la pelota, por ejemplo). Establece, pues, los márgenes entre los que se encontrará el resultado y de ahí calcula la cantidad de dinero que se debe devolver a cada apostante. En el caso del problema de puntos para tres jugadores Caramuel propone unas soluciones erróneas porque aplica un razonamiento equivocado al transformar un problema de puntos para tres jugadores en tres problemas para dos jugadores.

 

 

En otros capítulos analiza la primacía en el juego, es decir, valora qué ventajas conlleva el hecho de ser el primero en comenzar el juego y en cuánto incidiría esto si se suspende la partida antes de comenzar, teniendo ya asignado el orden de juego. Finalmente analiza también las probabilidades de obtener, al menos, un éxito en un número determinado de pruebas de lanzamiento de un solo dado y, en varios apartados del texto resuelve éste y otros problemas mediante el uso de logaritmos y antilogaritmos.

 

 Al final del texto Caramuel efectúa una valoración de la obra que, sobre este tema, llevó a cabo Huygens.

 

Sebastián Izquierdo S.J.

 

El otro matemático cuya obra merece ser tenida en cuenta es este jesuita nacido en Alcaraz, (Albacete) en 1601. Ingresó en la Compañía de Jesús en 1623 y fue profesor en los Colegios de la Compañía en Alcalá y Murcia y residió en Roma desde 1661 hasta su muerte. En una de sus obras, Disputatio de Combinatione expone el instrumento principal del método científico que podría calificarse como antecedente de De Arte Combinatoria de Leibniz  de 1666. En ella Izquierdo enfoca la combinatoria como un método general del saber para que el intelecto humano pueda alcanzar cualquier ciencia con mayor facilidad y menor esfuerzo. Podría calificarse como un nuevo Ars Generalis Sciendi, muy en la línea de la obra de Llull y Leibniz, un método universal y seguro para conocer todos los saberes científicos.

 

Leibniz y Athanasius Kircher encuentran en Llull un original antecedente de sus estudios sobre la Combinatoria, sin embargo Izquierdo piensa que no puede existir una ciencia universal y estudia las fórmulas para encontrar el conocimiento en torno a tres funciones del intelecto: concebir-juzgar y argumentar. Propone las divisiones en proposiciones de sujetos y predicados (de manera similar a como lo que describe Llull en su obra), para llevar a cabo combinaciones entre ellos de manera que pueda obtener cientos de ideas o planteamientos en torno a una cuestión determinada. En este sentido encontramos la misma técnica en la obra de Juan Caramuel y en la de otro autor mencionado por Izquierdo, Agustín Núñez Delgadillo (1570-1631) que estudio la aplicación de la combinatoria luliana a la consecución de una ciencia universal en su obra Breve y fácil declaración del artificio Luliano, provechosa para todas las facultades. Alcalá, 1622.

 

Entiende Izquierdo como Combinación un agregado o la agregación de las diferentes materias o ideas y aporta al cálculo combinatorio la novedad de las reglas y tablas, no formuladas hasta entonces. En su obra ofrece una sistematización rigurosa, con el planteamiento de una serie de problemas, muy aventajada respecto a las obras de otros matemáticos y toma de otros autores anteriores los conceptos que necesita para sus teorías. Así, de Cristóbal Clavius transcribe  la fórmula para hallar el número total de combinaciones de un número dado de términos, así como el número de binarios de un número dado por combinación de la misma especie. Como para los números ternarios, cuaternarios, etc no existen fórmulas, Izquierdo ofrece una regla fundada en las propiedades del triángulo aritmético y sobre ello trabaja también Pascal en su Traité du Triangle arithmetique, (1654) que no aparece publicado hasta 1664 [8], mientras que el Pharus Scientiarum es publicado en 1659, antes que cualquiera de sus contemporáneos. En 1666 lo hace De Arte Combinatoria de Leibniz, [9] en 1660 la Arthmética Universal que comprehende el Arte Menor y Maior, Algebra vulgar y especiosa, de José de Zaragoza y en 1670 lo hace Mathesis Biceps de Caramuel, que incluye Kybeia, su tratado de la Combinatoria.

 

 

Un ejemplo de la combinatoria Luliana en Galicia

 

 

Casi 90 años más tarde, a mediados del siglo XVIII, podemos situar los escritos de un cura párroco de la provincia de Orense (Antonio Arias Teixeiro) que ofrece, en un trabajo manuscrito, un razonamiento semejante a lo planteado por Llull, Caramuel, Delgadillo e Izquierdo. Dada la complejidad de los argumentos reflejados por Teixeiro, cuyas fuentes deben encontrarse en otra obra de Nuñez Delgadillo (Tabla para predicadores), he intercalado sus escritos en este estudio. 

 

 

El texto manuscrito plantea una serie de cuestiones abstractas (veinte en este caso) que se combinan con una batería de posibles respuestas (cien en este caso). De esta combinación entre cada una de las once cuestiones planteadas y las cien posibles respuestas surgen miles de ideas sobre un determinado concepto en estudio.[10] Parece evidente que este recurso no es original de Arias Teixeiro, pero está claro que lo incorpora en un intento de plasmar una filosofía moral y religiosa que nos lleva hacia proposiciones de la Lógica medieval que propugnaba el mismo Llull en su Ars Magna, donde recurría a la combinación de siete palabras con una serie de cien términos para obtener sus correspondientes respuestas o “cualidades”,  de modo que, cualquiera, fuera capaz de entender todo tipo de cuestiones filosóficas e incógnitas que, de otra manera, quedarían al margen de su capacidad. Llull animaba a sus discípulos a seguir este sistema, afirmando que el estudio de estos cien términos les permitirá llegar a un conocimiento global.

 

 

Es tanta la similitud que observamos entre este manuscrito y los planteamientos de Llull, que pensamos en una posible transcripción que, Teixeiro, realiza de la obra del mallorquín, probablemente a través de la Tabla para Predicadores de Núñez Delgadillo, con la finalidad de servirse de él durante el desarrollo de su actividad parroquial.

 

Carreras Artau explica el razonamiento de Llull, según el cual, dado un “sujeto”o concepto básico, como Bondad, Grandeza, Eternidad, Sabiduría o Virtud, se buscarán y propondrán todos los “predicados” posibles para ese sujeto y así, mediante combinaciones binarias y ternarias entre sujetos y predicados, se pueden relacionar diferentes cualidades de conceptos concretos.

 

 

Del mismo modo, Teixeiro propone que se tomen de memoria veinte atributos o sujetos y cien virtudes o predicados para obtener “infinitos secretos”. Una vez propuestas todas las combinaciones de virtudes y atributos, cabe la posibilidad de asignar a cada una de ellas una respuesta afirmativa o negativa, incrementando así el número de posibles razonamientos. Es decir, comienza con una combinación sencilla, binaria, entre cada una de las 100 virtudes y cada uno de los veinte atributos, pasando, a continuación, a una combinación más compleja, ternaria, entre cada pareja virtud-atributo con cada una de las virtudes, de tal forma que, sucesivamente, va aumentando el número de planteamientos, fruto de las innumerables posibilidades combinatorias entre esos ciento veinte elementos.

 

 

A continuación, propone una nueva combinación, tomando una virtud, a la que asigna un atributo que se corresponde con una segunda virtud, de tal forma que consigue establecer frases complejas partiendo de varios términos simples, gracias a un sistema que él mismo califica como matemático [11] y que le podrá servir para trabajar su oratoria desde el púlpito. Por último, este sistema permite también plantear una cuestión sobre cualquier idea, ya sea filosófica o religiosa y, siempre, encontrará una respuesta, por combinación entre cada una de las virtudes y cualquiera de los atributos restantes.

 

Es, pues, un sistema filosófico sustentado sobre una base de tipo matemática-combinatoria que permite establecer miles de atributos a una serie de términos, construir razonamientos complejos elaborados por combinación de diferentes términos simple y, por último, dar explicación a cualquier planteamiento preconcebido mediante la combinación de esos mismos términos. En definitiva, el Ars Magna de Ramón Llull. Podemos arrojar algo de luz sobre este complejo razonamiento si estudiamos el texto de Teixeiro, que es el siguiente:

 

 

 

 Cien questiones que pueden mover en cualquiera asunto moral divididas en diez dieces.

 

 

 

 (Propuesta de las veinte cuestiones, sujetos o atributos iniciales) [12]

 

 Questiones:

 

Si dispone, si alcanza, si aumenta, si conserva, si extiende, si engrandece, si facilita, si fructifica, si eleva, si enlaza, si inclina, si usa, si mejora, si comunica, si reparan, si es debido, si corresponde, si se ordena, si requiere, si es medida.

 

 

 

 (Propuesta de cien términos, predicados o virtudes)

 

 

Centuria, en que se comprehende lo más de lo moral. Términos, los siguientes:

 

Fee, esperanza, auxilio, luz, desengaño, conversión, penitencia, contusión, justificación, vocación, amor, fidelidad, espíritu, desnudez, perfección, pureza, superioridad, agrado, hermosura, resplandor, bondad, liberalidad, misericordia, beneficios, estimación, agradecimiento, imitación, socorro, gracia, redención, obediencia, temmor, humildad, resignación, pobreza, deifracción, religión, ejemplo, paciencia,  mortificación, oración, recogimiento, unión, alteza, anxias, devoción, conciencia, limpieza, quietud, seguridad, santificación, perseverancia, propósito, renovación, castidad, solicitud, ejercicio, edificación, dedicación, sacrificio, fortaleza, valor, conquista, resistencia, victoria, libertad, triunfo, celebrado, restitución, granjería, gobierno, capacidad, prudencia, consejo, justicia, reformación, leyes, proporción, examen,  entereza, paz, providencia, rectitud, distribución, amparo, corrección, premio, vigilancia, felicidad, cumbres, apetito, satisfacción, centro, plenitud, abundancia, gusto, verdad, potencia.

 

 

 

 (Explicación del método a seguir y posibilidades de este sistema)

 

Estas veinte questiones y estos cien términos has de tomar de memoria, de manera que críes hábito para usar de ellos con destreza, porque de otra suerte no harás cosa de provecho y los secretos provechos que se esconden  en estos pocos renglones son casi infinitos, pero de todos, sólo explicaré diez, y serán de más importancia que una librería, (conforme ella fuere, digo).

 

 

 

 (Combinaciones entre virtudes y atributos: una virtud y cien términos que corroboran el atributo de esa virtud)

 

Primer provecho:

 

Es que de cada punto que quisieres tratar, hallarás dosmil questiones, por cuenta, sin que te cueste mucha fatiga. Exemplo: Quiero tratar de la Fee y voime a la primera cuestión, que es si dispone, y hallo cien cuestiones de ella sóla, porque pregunto, si la Fee dispone para la esperanza, si dispone para el auxilio, si dispone para la luz, y así voi preguntando si la Fee dispone para los cien puntos contenidos en la centuria, luego voi a la segunda cuestión, que es si alcanza, y hago otras cien cuestiones, si la Fee alcanza esperanza, si alcanza auxilio, si alcanza luz, etc.

 

Y así de cada una de las veinte cuestiones, a cada una de las cuales corresponden los cien términos, y siendo ellas veinte, vinieren a ser dosmil. Y no sólo se aplican estas cuestiones a los términos de la centuria, sino también  a otros que no se hallan en ella, V.G. la soledad no se halla en la centuria y todavía puedo  preguntar si la vida solitaria dispone para la Fee, esperanza en el auxilio, etc. Y prosigo en la segunda cuestión, si alcanza estos exercicios, et sic de cisteris, y advierte que si de las veinte cuestiones aplicadas a los cien puntos de la centuria, salen dosmil cuestiones, y estas se pueden aplicar a cada punto de la centuria, de ellos vienen a salir doscientas mil cuestiones, porque dosmil veces ciento, son doscientos mil.

 

 

 

 (Posibilidad de plantear cuestiones seguidas de respuestas, afirmativas y negativas, para incrementar el número de razonamientos)

 

Segundo provecho:

 

Es que a cada cuestión responderás afirmativa, o negativamente y hallarás cien razones manifiestas que lo aprueben sin que te fatigues y esto se hace aprovechándote del mismo verbo que servía de cuestión, para que el mismo te sirva de razón. Vg, pregunto si la fee dispone para el amor. Respondo que sí y respondo usando del mismo vocablo con el método siguiente. La fee dispone para la esperanza, luego dispone para el amor; la fee dispone para el auxilio, luego dispone para el amor; dispone para alcanzar luz, luego para el amor y así voy discurriendo por todos los términos centuriales y hallo cien razones para cada conclusión y si todas son doscientas mil cuestiones y cada una se prueba con cien razones, serían dos millones de razones diferentes.

 

 

 

 (Planteamiento de un punto, una idea abstracta y la posibilidad de ser confirmada o rechazada como resultado de la combinación entre las virtudes y atributos que caracterizan esa idea)

 

Tercer provecho.

 

Has de declarar gravísimamente veinte propiedades de cada punto y cada propiedad por cien descripciones, V.G. Tomo oración mental y pregunto a qué dispone  la oración mental y respondo que dispone para el ejercicio de la fee, de la esperanza , para el uso de la luz de Dios, para el desengaño,  et sic decesteris. Discurriendo por los cien puntos pregunto más, ¿Qué alcanza la oración? Respondo que firmeza en la fee, esperanza, luz, desengaño, et sic decenteris supra, averiguando los cien términos a cada uno gravísimamente.

 

 

 

 (Combinación cuaternaria de varios términos con un atributo correspondiente a una virtud; Se plantea una relación atributo-virtud, que se hace combinar con el resto de virtudes)

 

Cuarto provecho:

 

Es que de estas declaraciones se sacan sin fatiga tres o cuatro mil máximas impresionadas en la memoria subiendo por la centuria y sirven  en conversación y en púlpito. V.G. Tomo amor y el verbo aumenta, que es la tercer cuestión del primer diez y digo así: el amor que aumenta la fee aumenta la esperanza, el amor que aumenta la fee, aumenta el desengaño, la contricción, etc. Estas máximas no tienen límite y sirven para ilustrar el entendimiento, como también para argüir en materias espirituales. V.G. Quiero yo probar que la humildad eleva la esperanza, y digo en forma de esquela, si quiero, lo que eleva el amor, eleva la esperanza, la humildad eleva la luz, luego la esperanza, y así estaré probando hasta el Juicio. Si quiero en forma de púlpito, discurro, digo que la humildad eleva la esperanza porque eleva el dominio del alma, eleva la luz, la fee, etc.

 

 

 

(A una idea se le asigna un atributo que se hace corresponder con un segundo atributo,  con una virtud, o con ambos a la vez)[13]

 

Quinto provecho:

 

Es un ser superior, tesoro para exponer cualquiera a lugar de la escritura porque puedes detenerte en cada punto un año sin trabajo y con superioridad. V.G. Tomo aquellas palabras de el esposo, osuletur me osculo oris sui. A los comendadores graves que me declaran en sentido literal, mistico y fundado en la verdadera inteligencia para discurrir, digo, la boca pide la esposa y con razón y para que se vea lo que pide, pregunto si la boca de Dios dispone las almas para el exercicio de la fee, para alcanzar nueva luz, para el desengaño, etc y así voy discurriendo por todas los demás puntos y haré doscientas mil cuestiones de la boca de Dios, preguntando a qué dispone, qué alcanza, qué aumenta, etc. No te digo que las apliques todas a un punto, que sería prolijidad, descúbrote campo. Y lo mismo harás  en cualquiera luz de la escritura como dixit Deus, etc. El Sr. es el que dice su decir, alcanza lo que quiere y por su decir se alcanza la fee, la esperanza etc, así voy discurriendo.

 

 

 

 (Proceso para relacionar dos ideas, según el siguiente razonamiento: La idea A, ¿estará relacionada con la idea B? Por combinación de atributos y virtudes se conocerá si A está, o no, relacionada con B, llevando a cabo una  concatenación de términos e ideas para formar una frase o una idea global)

 

Sexto provecho:

 

Es que para probar cualquiera punto en púlpito o escrito, es linda traza imitar las matemáticas y asentar cuarenta máximas  sacadas de las centurias y cuestiones probando luego la conclusión. V.G. esta que sigue: La comunión hecha en gracia, aunque sea cada día, no puede dañar. Para probar esta conclusión tomo el primer aumenta que está en las cuestiones y voime al segundo diez de la centuria y digo, asentemos cinco principios claros y, es el primero, lo que aumenta el amor de Dios no puede dañar. Lo segundo, lo que aumenta la pureza del alma no puede dañar. El tercero, lo que aumenta la desnudez del spíritu no puede dañar. Quarto, lo que aumenta la hermosura del alma no puede dañar y luego saco la conclusión. Luego, la comunión en gracia no puede dañar. Pruebo la consecuencia porque la comunión en gracia aumenta el amor, la pureza, la desnudez, la hermosura y el resplandor, (y este es el quinto principio), pruébolo porque aumenta la gracia. Punto.

 

 

Como he apuntado anteriormente, este razonamiento aparece reflejado de la misma manera en las obras de Caramuel (Kybeia), Núñez Delgadillo (Tabla de Predicadores) e Izquierdo (Pharus Scientiarum). Este último propone la Combinatoria como herramienta que suministra de modo seguro y ordenado las combinaciones posibles de un sujeto dado con todos sus posibles predicados y viceversa, todas las combinaciones de un predicado dado con todos los posibles sujetos de atribución, de tal forma que cuando el intelecto detecte una combinación inteligible habrá conseguido un juicio de verdad.

 

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[1] A mediados del siglo XVIII  el Padre Sarmiento tenía en su biblioteca particular gran parte de las obras de Caramuel, que cifraba en 39 volúmenes; entre otras, disponía de Theologia rationalis, Rationalis et realis philosophia, Apparayus philosophicus y Mathesis biceps según aparece escrito en su Catálogo de los Autores de quienes yo, Fr. Martín Sarmiento, Benedictino, tengo ad usum, o todas sus obras o parte de ellas o algún como suelto o separado.

[2] Estos dos tomos son los primeros de una serie de cuatro que habrían de componer la mencionada Cursus Mathematicarum.

[3] En su obra Kybeia la extiende al estudio de los juegos de azar.

[4] Quizá en este sentido lo podemos comparar a fr. Martín Sarmiento, que desarrolló una obra ingente pero siempre basada en sus propias lecturas, sin capacidad para la observación propia, elaborando sus teorías a partir de lo escrito por otros. Se percibe en la obra de Caramuel una falta de observación propia, basando sus opiniones y estudios en los escritos de sus contemporáneos.

[5] El jesuita Sebastián Izquierdo publicó su obra Pharus Scientiarum (1659) en la que recoge la idea luliana de creación de un método general del Saber basado en el arte combinatoria (el Ars Magna de Llull) que también influyó en Leibniz y Caramuel.

[6] Este sistema combinatorio fue de uso relativamente frecuente; así lo presenta también el franciscano Agustín Nuñez Delgadillo, a mediados del siglo XVII, en su Tabla para Predicadores  y en Breve y fácil declaración del artificio luliano, provechosa para todas las facultades (1622). En la primera obra presenta una tabla similar a la de Caramuel, una versión de la cual hemos localizado, y presentamos, en nuestro estudio Antonio y Anselmo Arias Teixeiro, referente a dos lulistas gallegos del siglo XVIII.

[7] Kaufmann, A. (1977), Curso moderno de Cálculo de Probabilidades. URMO S.A. de ediciones. Bilbao.

[8] Pascal toma de la obra de Michel Stiefel (1486-1567) numerosa información que aparecerá en su propia obra, así como Izquierdo y Leibniz, que la aplican a la aritmética de las combinaciones.

[9] En su obra Leibniz soluciona, para un número dado de términos, los números de sus combinaciones de diverso exponente (binarios, ternarios, etc.)

[10] Podemos encontrar planteamientos similares a éste en otras obras de la época, como en la misma portada de la Demostración critico apologética del padre Sarmiento donde se estructura una combinación entre dieciséis términos. Si el documento es original de Antonio Arias Teixeiro, es evidente que ha tenido acceso a dos posibles fuentes. Por un lado, el Ars Magna de Llull, donde se sugiere esa forma de aprendizaje basada en  planteamientos matemáticos y en las leyes de la combinatoria. No sería fácil tener acceso a este texto a mediados del siglo XVIII, a no ser en los años posteriores a 1740 en que los franciscanos finalizaron la reedición de la obra luliana en Maguncia. A través de los contactos mallorquines que hemos estudiado podría haber recibido el texto pero no hay evidencias de ello.  Por otro lado, sí las hay del acceso a la obra del jesuita Athanasius Kircher en varios documentos relacionados con ambos hermanos Teixeiro, y ésta está íntimamente relacionada o vinculada a la obra de Llull, concretamente hablamos del Ars Magna Sciendi de Kircher, donde se analizan las enseñanzas combinatorias y la lógica de Llull.

[11] El texto manifiesta una clara relación con el arte luliano y, quizá también, con ciertas obras que en el siglo XVIII eran de obligada lectura a los estudiantes de filosofía como la conocida Philosophia Tomística de Antonio Goudin, que dedicaba el primer tomo al estudio de la lógica.

[12] El texto entre corchetes son aclaraciones nuestras.

[13] Préstese atención a una frase de este párrafo en que se afirma que el autor del texto es calificado y conocido como místico e inteligente.  ¿Ramón Llull?